已知線性變換f對應(yīng)的矩陣M=
02
1-1
，線性變換g對應(yīng)的矩陣N的屬于特征值λ=-1的一個特征向量
ξ
=
1
-1
，向量
α
=
1
2
在線性變換g作用下得到的像為
β
=
8
4
；
（1）求矩陣M的逆矩陣；
（2）求矩陣N；
（3）已知曲線C依次作線性變換f和g，得到曲線C′：x+5y+4=0，求曲線C的方程．
考點：幾種特殊的矩陣變換
專題：綜合題,矩陣和變換
分析：（1）求出|M|，即可求出矩陣M的逆矩陣；
（2）利用線性變換g對應(yīng)的矩陣N的屬于特征值λ=-1的一個特征向量
ξ
=
1
-1
，向量
α
=
1
2
在線性變換g作用下得到的像為
β
=
8
4
，建立方程組，即可求矩陣N；
（3）設(shè)曲線C上任一點P（x，y）在矩陣NM對應(yīng)的線性變換作用下得到的像為P′（x′，y′），則
x′=3x+y
y′=x+3y
代入曲線C′，即可求曲線C的方程．
解答： 解：（1）∵M=
02
1-1
，∴|M|=-2，
∴M-1=
1
2
1
1
2
0
--------------------------------3
（2）設(shè)N=
ab
cd
，則
ab
cd
1
-1
=
1
-1
，
ab
cd
1
2
=
8
4
，即
a-b=-1
a+2b=8
c-d=1
c+2d=4

解得a=2，b=3，c=2，d=1，
所以N=
23
21
----------------6分
（3）依次作線性變換f和g對應(yīng)的矩陣NM=
23
21
=
02
1-1
=
31
13
，
設(shè)曲線C上任一點P（x，y）在矩陣NM對應(yīng)的線性變換作用下得到的像為P′（x′，y′），
則
x′=3x+y
y′=x+3y
代入曲線C′得3x+y+5（x+3y）+4=0，即2x+4y+1=0
所求曲線C的方程為2x+4y+1=0．--------------10分．
點評：本題考查的是求矩陣的特征值以及特征向量問題，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知m∈R，并且
1+mi
2-i
的實部和虛部相等，則m的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+
a
x
+b在點（1，3）處與y軸垂直．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
lnx，0＜x≤e
2-lnx，x＞e
，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，點P是∠AOB平分線上一點，PC⊥OA，垂足為C，OB與以P為圓心、PC為半徑的圓相切嗎？為什么？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知∠A、∠B∈（0，
π
2
），sinA-cosB＜0，求證：∠A+∠B＜
π
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（
3
，-
3
2
），且橢圓的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點F作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點A，C及B，D，設(shè)線段AC，BD的中點分別為P，Q．求證：直線PQ恒過一個定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
=n2(n∈N*)，令bn=anan+1，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．
（1）求an和Sn；
（2）對任意的正整數(shù)n，不等式Sn＞λ-
1
2
恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知y=f（x）為R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≠0時，f′（x）+
f(x)
x
＞0，則關(guān)于的函數(shù)g（x）=f（x）+
2
x
的零點個數(shù)為（　　）
A、0B、1
C、2D、0或 2

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