Question

11．設(shè)a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（sinx+cosx）dx，則二項(xiàng)式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展開(kāi)式中含x^-1項(xiàng)的系數(shù)是60．

Answer 1

分析 由定積分的運(yùn)算求得a的值，代入求得（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展開(kāi)式${C}_{6}^{k}$（2$\sqrt{x}$）^6-k•（-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）^k=（-1）^k${C}_{6}^{k}$2^6-kx^3-k，當(dāng)3-k=-1，解得k=4，代入即可求得展開(kāi)式中含x^-1項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（sinx+cosx）dx=（-cosx+sinx）${丨}_{0}^{\frac{π}{2}}$
=-（cos$\frac{π}{2}$-cos0）+sin$\frac{π}{2}$-sin0=2，∴a=2，
（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展開(kāi)式為：${C}_{6}^{k}$（2$\sqrt{x}$）^6-k•（-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）^k=（-1）^k${C}_{6}^{k}$2^6-kx^3-k，
含x^-1項(xiàng)的系數(shù)：3-k=-1，解得：k=4，
∴展開(kāi)式中含x^-1項(xiàng)的系數(shù)（-1）^k${C}_{6}^{k}$2^6-kx^3-k，
=（-1）⁴${C}_{6}^{2}$2²，
=60，
故答案為：60．

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分的應(yīng)用，考查二項(xiàng)式定理，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．