Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）為偶函數(shù)，則φ=（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 利用輔助角公式化積，然后利用偶函數(shù)的概念可得sin（-2x+φ+$\frac{π}{4}$）=sin（2x+φ+$\frac{π}{4}$），進(jìn)一步得到-2x+φ+$\frac{π}{4}$=2x+φ+$\frac{π}{4}$+2kπ，或-2x+φ+$\frac{π}{4}$+2x+φ+$\frac{π}{4}$=π+kπ，由此求得滿足條件的φ．

解答 解：f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=$\sqrt{2}sin（2x+φ+\frac{π}{4}）$，
∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∴$f（-x）-f（x）=\sqrt{2}sin（-2x+φ+\frac{π}{4}）$$-\sqrt{2}sin（2x+φ+\frac{π}{4}）$=0，
即sin（-2x+φ+$\frac{π}{4}$）=sin（2x+φ+$\frac{π}{4}$），
∴-2x+φ+$\frac{π}{4}$=2x+φ+$\frac{π}{4}$+2kπ，或-2x+φ+$\frac{π}{4}$+2x+φ+$\frac{π}{4}$=π+kπ，
即x=-$\frac{kπ}{2}，k∈Z$（舍）或φ=$\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．