Question

20．4年一屆的歐洲杯的關注度是僅次于世界杯的第二大足球賽事，2016年歐洲杯于2016年6月10日至7月10日在法國境內(nèi)9座城市的12座球場內(nèi)舉行，共24支國家隊參賽，比賽第一階段是小組賽，每個小組4支國家隊，組內(nèi)任兩只球隊之間需進行一場較量，采取積分制，獲勝一場3分，打平一場1分，輸一場0分，每個小組根據(jù)積分取得資格進入下一階段比賽-淘汰賽．
（1）在小組賽階段，若東道主法國隊在所處的A組中，打勝一場概率為$\frac{1}{2}$，打平一場概率為$\frac{1}{3}$，輸一場概率為$\frac{1}{6}$，每場比賽輸贏互不影響；那么小組賽結束后，法國隊積分為3分的概率；
（2）在淘汰賽階段，每一場比賽必分輸贏，當出現(xiàn)平局時采用點球的方式?jīng)Q出勝負；若德國門將諾伊爾撲出點球的成功率為$\frac{1}{3}$，在5次點球中，求他撲出的點球個數(shù)X的分布列與期望．

Answer 1

分析 （1）利用互斥事件的概率公式求解即可；
（2）由題意，X～B（5，$\frac{1}{3}$），求出相應的概率，即可求他撲出的點球個數(shù)X的分布列與期望．

解答 解：（1）當法國隊勝一場，輸2場時，P=C₃¹×$\frac{1}{2}×\frac{1}{6}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{24}$；
當法國隊打平3場時，P=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{27}$．
∴法國隊積分為3分的概率=$\frac{1}{24}$+$\frac{1}{27}$=$\frac{17}{216}$；
（2）由題意，X～B（5，$\frac{1}{3}$），
P（X=0）=（$\frac{2}{3}$）⁵=$\frac{32}{243}$，
P（X=1）=C₅¹×$\frac{1}{3}$×（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{80}{243}$，
P（X=2）=C₅²×（$\frac{1}{3}$）²×（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{80}{243}$，
P（X=3）=C₅³×（$\frac{1}{3}$）³×（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{40}{243}$，
P（X=4）=C₅⁴×（$\frac{1}{3}$）⁴×（$\frac{2}{3}$）=$\frac{10}{243}$，
P（X=5）=C₅⁵×（$\frac{1}{3}$）⁵=$\frac{1}{243}$，
X的分布列為

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{1}{243}$

EX=0×$\frac{32}{243}$+1×$\frac{80}{243}$+2×$\frac{80}{243}$+3×$\frac{40}{243}$+4×$\frac{10}{243}$+5×$\frac{1}{243}$=$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列，期望的求法，互斥事件概率公式的應用，考查分析問題解決問題的能力．