Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；

（2）若在區(qū)間上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）時， 有極小值為． 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（2）.

【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和駐點，然后列表討論，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若在區(qū)間上存在一點，使得成立，其充要條件是在區(qū)間上的最小值小于即可．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值，先求出導(dǎo)函數(shù)，然后討論研究函數(shù)在上的單調(diào)性，將的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最小的一個就是最小值．

試題解析：（1）當(dāng)， ，

令，得，

又的定義域為，由得，由，得，

所以時， 有極小值為，

的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2），且，令，得到．若在區(qū)間上存在一點，使得成立，即在區(qū)間上的最小值小于．

當(dāng)，即時， 恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，

故在區(qū)間上的最小值為．

由，得，即.

當(dāng)，即時，

①若，則對成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則在區(qū)間上的最小值為．

顯然， 在區(qū)間上的最小值小于不成立．

②若，即時，則有

所以在區(qū)間上的最小值為，

由，得，解得，即，

綜上，由①②可知：