Question

8．已知單調(diào)遞增數(shù)列{a_n}滿足a_n=3ⁿ-λ•2ⁿ（其中λ為常數(shù)，n∈N⁺），則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ＜3．

Answer 1

分析 單調(diào)遞增數(shù)列{a_n}滿足a_n=3ⁿ-λ•2ⁿ（其中λ為常數(shù)，n∈N⁺），可得：a_n＜a_n+1，化為：λ＜$2×（\frac{3}{2}）^{n}$，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵單調(diào)遞增數(shù)列{a_n}滿足a_n=3ⁿ-λ•2ⁿ（其中λ為常數(shù)，n∈N⁺），
∴a_n＜a_n+1，
∴3ⁿ-λ•2ⁿ＜3ⁿ⁺¹-λ•2ⁿ⁺¹，
化為：λ＜$2×（\frac{3}{2}）^{n}$，
由于數(shù)列$\{2×（\frac{3}{2}）^{n}\}$單調(diào)遞增，∴$2×（\frac{3}{2}）^{n}$≥$2×\frac{3}{2}$=3．
∴λ＜3．
故答案為：λ＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、數(shù)列的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．