Question

3．已知圓C：（x-3）²+y²=4，M是圓C的圓心，Q是y軸上的動點，QA，QB分別切圓C于A，B兩點
（Ⅰ）若Q（0，2），求切線QA，QB的方程
（Ⅱ）求四邊形QAMB面積的最小值
（Ⅲ）若|AB|=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，求直線MQ的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求切線QA、QB的方程；
（Ⅱ）求出四邊形QAMB的面積的表達式，利用|MQ|＞|MO|求出面積的最小值；
（Ⅲ）設AB與MQ交于點P，通過MP⊥AB，MB⊥BQ，求出|MP|，求出|MQ|，即可求直線MQ的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意，切線的斜率存在，設過點Q的圓M的切線方程為kx-y+2=0，------（1分）
則圓心M到切線的距離為1，∴$\frac{|3k+2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，
∴k=0或k=-$\frac{12}{5}$，------（4分）
∴切線QA、QB的方程分別為y=2和12x+5y-10=0------（5分）
（Ⅱ）∵MA⊥AQ，∴S_MAQB=|MA|•|QA|=2|QA|=2$\sqrt{|MQ{|}^{2}-|MA{|}^{2}}$=2$\sqrt{|MQ{|}^{2}-4}$≥2$\sqrt{|MO{|}^{2}-4}$=2$\sqrt{5}$，
∴四邊形QAMB面積的最小值為2$\sqrt{5}$；
（Ⅲ）設AB與MQ交于點P，則MP⊥AB，MB⊥BQ，|MP|=$\sqrt{4-（\frac{4\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
在Rt△MBQ中，|MB|²=|MP|•|MQ|，解得|MQ|=6
設Q（0，y），則y²+9=36，∴y=±3$\sqrt{3}$，∴Q（0，±3$\sqrt{3}$）
∴直線MQ的方程為$\sqrt{3}$x+y-3$\sqrt{3}$=0或$\sqrt{3}$x-y-3$\sqrt{3}$=0-----（14分）．

點評 本題考查圓的切線方程的求法，四邊形面積的求法，兩點間的距離公式的應用，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力．