Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（0，2），離心率為

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)（2，0）的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB是銳角，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意得b=2，

c

a

=

6

3

，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：y=k（x-2），由

x2 12 + y2 4 =1 y=k(x-2)

，得x²+3k²（x-2）²=12，由此利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出直線l的斜率的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得b=2，

c

a

=

6

3

結(jié)合a²=b²+c²，解得a²=12
所以，橢圓的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ） 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)．
設(shè)直線l的方程為：y=k（x-2）
由

x2 12 + y2 4 =1 y=k(x-2)

，得x²+3k²（x-2）²=12，
即（1+3k²）x²-12k²x+12k²-12=0．
所以x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1•x2=

12k2-12

1+3k2

，
y1•y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[(x1x2-2(x1+x2)+4]
=

12k4-12k2

1+3k2

-

24k4

1+3k2

+

12k4+4k2

1+3k2

=-

8k2

1+3k2

，
∵∠AOB是銳角，∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

4k2-12

1+3k2

＞0，
解得k＞

3

或k＜-

3

．
故直線l的斜率的取值范圍是（-∞，-

3

）∪（

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．