Question

20．已知a，b為實(shí)常數(shù)，{c_i}（i∈N^*）是公比不為1的等比數(shù)列，直線ax+by+c_i=0與拋物線y²=2px（p＞0）均相交，所成弦的中點(diǎn)為M_i（x_i，y_i），則下列說法錯(cuò)誤的是（　　）

• A． 數(shù)列{x_i}可能是等比數(shù)列
• B． 數(shù)列{y_i}是常數(shù)列
• C． 數(shù)列{x_i}可能是等差數(shù)列
• D． 數(shù)列{x_i+y_i }可能是等比數(shù)列

Answer 1

分析 由直線ax+by+c_i=0，對(duì)系數(shù)a，b分類討論，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M坐標(biāo)，再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式即可判斷出結(jié)論．

解答 解：由直線ax+by+c_i=0，當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，直線by+c_i=0與拋物線y²=2px（p＞0）僅有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意．
當(dāng)a≠0，b=0時(shí)，直線ax+c_i=0，化為：x=-$\frac{{c}_{i}}{a}$，則x_i=-$\frac{{c}_{i}}{a}$，y_i=0，x_i+y_i=-$\frac{{c}_{i}}{a}$，
由{c_i}（i∈N^*）是公比不為1的等比數(shù)列，可得{x_i }是等比數(shù)列，{x_i+y_i }是等比數(shù)列，不是等差數(shù)列．
當(dāng)a≠0，b≠0時(shí)，直線ax+by+c_i=0化為：x=-$\frac{a}$y-$\frac{{c}_{i}}{a}$，代入拋物線y²=2px（p＞0），∴y²+$\frac{2pb}{a}$y+$\frac{2p{c}_{i}}{a}$=0．
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：$（\frac{p^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{c}_{i}}{a}，-\frac{pb}{a}）$．{y_i }是常數(shù)列，是等比數(shù)列，是等差數(shù)列．
綜上可得：A，B，D都有可能，只有C不可能．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線方程、直線與拋物線相交問題、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．