Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，l是過(guò)定點(diǎn)P（4，2）且傾斜角為α的直線，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系（取相同單位長(zhǎng)度）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
（Ⅰ）寫(xiě)出求直線l的參數(shù)方程，并將曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若曲線C與直線l相交于不同的兩點(diǎn)M、N，求|PM|+|PN|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：對(duì)第（Ⅰ）問(wèn)，根據(jù)“

x=x0+tcosα y=y0+tsinα

”直接寫(xiě)出l的參數(shù)方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系式

ρ2=x2+y2 x=ρcosθ

，可將曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程；
對(duì)第（Ⅱ）問(wèn)，聯(lián)立l的參數(shù)方程與曲線C的普通方程，消去x與y，得到關(guān)于t的一元二次方程，寫(xiě)出|PM|+|PN|關(guān)于t及α的表達(dá)式，利用韋達(dá)定理及α的范圍，可探求|PM|+|PN|的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵直線l過(guò)定點(diǎn)P（4，2），且傾斜角為α，
∴l(xiāng)的參數(shù)方程為

x=4+tcosα y=2+tsinα

（t為參數(shù)）．
由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，
將

ρ2=x2+y2 x=ρcosθ

代入上式中，整理得曲線C的普通方程為x²+y²-4x=0．
（Ⅱ）將l的參數(shù)方程

x=4+tcosα y=2+tsinα

代入x²+y²=4x中，
得t²+4（sinα+cosα）t+4=0，
由題意有△=16（sinα+cosα）²-16＞0，
得sinα•cosα＞0，∵0≤α＜π，∴sinα＞0，且cosα＞0，從而0＜α＜

π

2

．
設(shè)點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
由韋達(dá)定理，得t₁+t₂=-4（sinα+cosα）＜0，t₁•t₂=4＞0，
∴t₁＜0，且t₂＜0，
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=-t₁-t₂=4（sinα+cosα）=4

2

sin(α+

π

4

)．
由0＜α＜

π

2

，得

π

4

＜α＜

3π

4

，
∴

2

2

＜sin(α+

π

4

)≤1，
故|PM|+|PN|的取值范圍是(4 ，4

2

]．

點(diǎn)評(píng)：1．極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，一般通過(guò)兩邊同時(shí)平方，兩邊同時(shí)乘以ρ等方式，構(gòu)造或湊配ρ²，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式轉(zhuǎn)化．常見(jiàn)互化公式有ρ²═x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，tanθ=

y

x

等．
2．運(yùn)用參數(shù)方程解題時(shí)，應(yīng)熟練參數(shù)方程中各量的含義，即過(guò)定點(diǎn)M₀（x₀，y₀）M0，且傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為“

x=x0+tcosα y=y0+tsinα

”，參數(shù)t表示以M₀為起點(diǎn)，直線上任意一點(diǎn)M為終點(diǎn)的向量

M0M

的數(shù)量，即當(dāng)

M0M

沿直線向上時(shí)，t=|

M0M

|；當(dāng)

M0M

沿直線向下時(shí)，t=-|

M0M

|．
3．對(duì)于曲線C與直線l的相交問(wèn)題，一般是聯(lián)立曲線與直線的方程，消去相應(yīng)的變量，再利用韋達(dá)定理求解．