Question

在平面直角坐標系下，直線C₁：

x=2t+2a y=-t

（t為參數(shù)），曲線C₂：

x=2cosθ y=2+sinθ

，（θ為參數(shù)），若C₁與C₂有公共點，則實數(shù)a的取值是

 

．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：首先把曲線C₁，C₂的參數(shù)方程均化為普通方程；然后根據(jù)C₁，C₂有公共點知，兩方程有公共解，聯(lián)立兩方程，消去y或x，得到關(guān)于x或y的一元二次方程，由△≥0即可求出a的取值范圍．

解答：解：由直線C₁：

x=2t+2a y=-t

（t為參數(shù)），
消去參數(shù)t，整理得x=2a-2y，…①；
由曲線C₂：

x=2cosθ y=2+sinθ

，（θ為參數(shù)），
消去參數(shù)θ，得x²+4（y-2）²=4，…②；
將①代入②中，消去x并整理得2y²-2（a+2）y+a²+3=0，
由于C₁，C₂有公共點，所以上面關(guān)于y的一元二次方程有實數(shù)解，
所以△≥0，即4（a+2）²-4×2×（a²+3）≥0，
整理得a²-4a+2≤0，
解得2-

2

≤a≤2+

2

．
故答案為：[2-

2

，2+

2

]．

點評：本題主要考查圓的參數(shù)方程與直角坐標方程的互化，屬于基礎(chǔ)題，對于兩曲線的公共點問題，一般從幾何和代數(shù)兩方面考慮，兩種方法各有其優(yōu)缺點，注意選擇使用．