Question

17．已知f（x）=2|x+1|-x的最小值為b．
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）已知a≥b，求證：$\sqrt{2a-b}+\sqrt{{a^2}-b}≥a$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡函數(shù)的解析式，利用單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，再根據(jù)最小值為b，求得b的值．
（Ⅱ）a=1+m（m≥0），變形后利用放縮法證明要證的不等式．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2|{x+1}|-x=\left\{\begin{array}{l}x+2，x≥-1\\-3x-2，x＜-1\end{array}\right.$，∴b=f（x）_min=f（-1）=1．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知b=1，設(shè)a=1+m（m≥0），
則$\sqrt{2a-b}+\sqrt{{a^2}-b}=\sqrt{2a-1}+\sqrt{{a^2}-1}$=$\sqrt{2（1+m）-1}+\sqrt{{{（1+m）}^2}-1}$=$\sqrt{1+2m}+\sqrt{{m^2}+2m}≥1+m=a$．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值三角不等式的應(yīng)用，求函數(shù)的最值，用放縮法證明不等式，屬于中檔題．