Question

15．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知c=b（1+2cosA）．
（1）求證：A=2B；
（2）若a=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，B=$\frac{π}{12}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；
（2）根據(jù)余弦定理求出b，結(jié)合三角形的面積公式即可求△ABC的面積．

解答 解：（1）∵c=b（1+2cosA）．
∴由正弦定理得sinC=sinB（1+2cosA）=sinB+2sinBcosA．
即sin（A+B）=sinB+2sinBcosA．
則sinAcosB+cosAsinB=sinB+2sinBcosA．
即sinAcosB-cosAsinB=sinB，
即sin（A-B）=sinB，
∵sinB＞0，
∴sin（A-B）＞0，則A-B＞0，
即A＞B，
則B是銳角，則A-B=B，即A=2B；
（2）由（1）知A=2B，
若a=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，B=$\frac{π}{12}$，
則A=2B=$\frac{π}{6}$，則C=$\frac{3π}{4}$，
則c=b（1+2cosA）=b（1+$\sqrt{3}$），
∵c²=a²+b²-2abcosC，
∴b²（1+$\sqrt{3}$）²=（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$）²+b²+2×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$b×$\frac{\sqrt{2}}{2}$
即（3+2$\sqrt{3}$）b²-（1+$\sqrt{3}$）b-（2+$\sqrt{3}$）=0，
即（b-1）[（3+2$\sqrt{3}$）b+2+$\sqrt{3}$]=0．
得b=1，c=1+$\sqrt{3}$，
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}ab$sinC=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，根據(jù)正弦定理和余弦定理以及三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．