Question

13．已知A，B，P是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上不同的三點(diǎn)，且A，B連線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積${k_{PA}}•{k_{PB}}=-\frac{4}{9}$，則的離心率（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$

Answer 1

分析 由于A，B連線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以A，B一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用直線PA，PB的斜率乘積，可尋求幾何量之間的關(guān)系，從而可求離心率．

解答 解：根據(jù)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的對(duì)稱性可知A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
設(shè)A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），P（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1}\\{{k}_{PA}•{k}_{PB}=\frac{y-{y}_{1}}{x-{x}_{1}}•\frac{y+{y}_{1}}{x+{x}_{1}}=-\frac{4}{9}}\end{array}\right.$，
∴由$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$和$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1兩式相減，得：$\frac{{y}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{x}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{9}$，∴$\frac{a}=\frac{2}{3}$，
設(shè)a=3k，則b=2k，c=$\sqrt{9{k}^{2}-4{k}^{2}}=\sqrt{5}k$，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)差法，關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)代入化簡(jiǎn)，應(yīng)注意雙曲線幾何量之間的關(guān)系．