Question

4．已知（$\frac{5}{3}$，0）是函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（0＜ω＜2）的一個(gè)對(duì)稱中心．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的增區(qū)間及對(duì)稱軸方程．

Answer 1

分析 （1）令f（$\frac{5}{3}$）=0，解出ω；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出不等式或方程，解出單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱軸．

解答 解：（1）∵（$\frac{5}{3}$，0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心，
∴f（$\frac{5}{3}$）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{5ω}{3}+\frac{π}{6}$）=0，
∴$\frac{5ω}{3}+\frac{π}{6}$=kπ，解得ω=-$\frac{π}{10}$+$\frac{3kπ}{5}$．
∵0＜ω＜2，∴當(dāng)k=1時(shí)，ω=$\frac{π}{2}$．
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{πx}{2}+\frac{π}{6}$）．
（2）令-$\frac{π}{2}+2kπ$≤$\frac{πx}{2}+\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$．解得-$\frac{4}{3}$+4k≤x≤$\frac{2}{3}+4k$．
∴f（x）的增區(qū)間是[-$\frac{4}{3}$+4k，$\frac{2}{3}+4k$]，k∈Z．
令$\frac{πx}{2}+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，解得x=$\frac{2}{3}+2k$．
∴f（x）的對(duì)稱軸方程為x=$\frac{2}{3}+2k$，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．