如圖，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：x2＝2py(p>0)上．

(1)求拋物線E的方程；

(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y＝－1相交于點(diǎn)Q.證明：以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn)．

 

（1）x2＝4y.（2）見解析

【解析】(1)依題意，OB＝8，∠BOy＝30°.設(shè)B(x，y)，則x＝OBsin30°＝4，y＝OBcos30°＝12.因?yàn)辄c(diǎn)B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.故拋物線E的方程為x2＝4y.

(2)由(1)知y＝x2，y′＝x.設(shè)P(x0，y0)，

則x0≠0，y0＝，且l的方程為y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－.

由得所以Q為.

設(shè)M(0，y1)，令·＝0對(duì)滿足y0＝(x0≠0)的x0，y0恒成立．

由于＝(x0，y0－y1)，＝，

由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋＝0，即(＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)

由于(*)式對(duì)滿足y0＝(x0≠0)的y0恒成立，所以解得y1＝1.

故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)M(0，1)．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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一高考考生咨詢中心有A、B、C三條咨詢熱線．已知某一時(shí)刻熱線A、B占線的概率均為0.5，熱線C占線的概率為0.4，各熱線是否占線相互之間沒有影響，假設(shè)該時(shí)刻有ξ條熱線占線，則隨機(jī)變量ξ的期望為________．

 

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下列問題屬于超幾何分布的有________．(填序號(hào))

①拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)記為X，求X的概率分布列；

②有一批種子的發(fā)芽率為70%，現(xiàn)任取10顆種子做發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，把實(shí)驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為X，求X的概率分布列；

③一盒子中有紅球3只，黃球4只，藍(lán)球5只，現(xiàn)任取3只球，把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為X，求X的概率分布列；

④某班級(jí)有男生25人，女生20人，現(xiàn)選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長(zhǎng)必須參加，其中女生人數(shù)記為X，求X的概率分布列．

 

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在(x＋y)n的展開式中，若第七項(xiàng)系數(shù)最大，則n的值可能為________．

 

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如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為________．

 

 

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拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－2，該拋物線上的每個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線x＝－2的距離都與到定點(diǎn)N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時(shí)與直線l1：y＝x和l2：y＝－x相切的圓，

(1)求定點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(2)是否存在一條直線l同時(shí)滿足下列條件：

①l分別與直線l1和l2交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為E(4，1)；

②l被圓N截得的弦長(zhǎng)為2.

 

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拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值是________．

 

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已知雙曲線＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線方程為y＝±x，若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1，求雙曲線方程．

 

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在平面直角坐標(biāo)系中，有橢圓＝1(a>b>0)的焦距為2c，以O(shè)為圓心，a為半徑的圓．過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率e＝________．

 

 

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