在雙曲線
x2
4
-
y2
12
=1的右支上求一點(diǎn) P,使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右準(zhǔn)線距離的4倍.
考點(diǎn):雙曲線的簡單性質(zhì)
專題:計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:求出雙曲線的a,b,c,e,及右準(zhǔn)線方程,設(shè)P(m,n)到右準(zhǔn)線距離為d,運(yùn)用雙曲線的第二定義,得到P到右焦點(diǎn)的距離為2d,由條件可得,d=2,再由點(diǎn)到直線的距離公式可得m=3,代入雙曲線方程,解得n,進(jìn)而得到P的坐標(biāo).
解答: 解:雙曲線
x2
4
-
y2
12
=1的a=2,b=2
3
,
則c=
4+12
=4,e=
c
a
=2,右準(zhǔn)線方程為x=
a2
c
,即有x=1,
設(shè)P(m,n)到右準(zhǔn)線距離為d,
根據(jù)第二定義,可得P到右焦點(diǎn)的距離為ed,
∵右支上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離是到右準(zhǔn)線距離的4倍,
∴P到左焦點(diǎn)的距離為4d,
∴4d-ed=2a=4,
∴d=
4
4-e
=
4
2
=2,即m-1=2,解得m=3,
則n2=12×(
9
4
-1)=15,即有n=±
15

則所求P的坐標(biāo)為(3,±
15
).
點(diǎn)評:本題考查雙曲線的定義,考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對任意兩個(gè)正整數(shù)x,y,定義某種新運(yùn)算?,當(dāng)x,y都為正偶數(shù)或者為正奇數(shù)時(shí):x?y=x+y;當(dāng)x,y中有一個(gè)為正奇數(shù),另一個(gè)為正偶數(shù)時(shí):x?y=xy.則在上述定義下,集合M={(m,n)|m?n=36,m,n∈N* }中元素的個(gè)數(shù)是( 。
A、6B、35C、36D、41

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設(shè)三條直線l1:x+y-1=0,l2:kx-2y+3=0,l3:x-(k+1)y-5=0,若這三條直線交于一點(diǎn),求k的值.

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一個(gè)多面體的三視圖和直觀圖如圖所示,其中D為AA1的中點(diǎn).
(1)求平面B1DC把多面體ABC-A1B1C1分成兩部分的體積之比;
(2)在線段B1C上是否存在一點(diǎn)E,使A1E∥平面BDC,若存在,指出E點(diǎn)的位置,若不存在,請說明理由;
(3)求直線BD與平面B1DC夾角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2
3
sinx•cosx+cos2x-sin2x-1(x∈R)
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若x∈[-
π
6
π
3
],求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知某線性規(guī)劃問題的約束條件是
y≤x
3y≥x
x+y≤4
,則下列目標(biāo)函數(shù)中,在點(diǎn)(3,1)處取得最小值的是( 。
A、z=2x-y
B、z=-2x+y
C、z=-
1
2
x-y
D、z=2x+y

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

畫出函數(shù)y=
x3
3x
-1的大致圖象.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系XOY中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線C 的極坐標(biāo)方程為 ρsin2θ=4cosθ,直線l的參數(shù)方程為
x=tcosa
y=1+tsina
,(t為參數(shù),0≤a<π).
(Ⅰ)化曲線C 的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線l 經(jīng)過點(diǎn)(1,0),求直線l被曲線C截得的線段AB的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且DE∥BC,DE=2,將△ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A2C⊥CD,如圖2.
(1)求證:A1C⊥平面BCDE;
(2)若M是A1D的中點(diǎn),求CM與平面A1BE所成角的大小.

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