Question

已知函數(shù)f(x)=

1-x2

1+x+x2

．
（1）若（e^a+2）x²+e^ax+e^a-2≥0對(duì)|x|≤1恒成立，求a的取值范圍；
（2）求證：對(duì)于正數(shù)a、b、μ，恒有f[(

a+μb

1+μ

)2]-f（

a2+μb2

1+μ

）≥(

a+μb

1+μ

)2-

a2+μb2

1+μ

．

Answer 1

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)g（x）=（e^a+2）x²+e^ax+e^a-2，確定函數(shù)的對(duì)稱軸，利用判別式，即可求出a的取值范圍；
（2）構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-x=

1-x2

1+x+x2

-x，證明函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，將要證明的問題轉(zhuǎn)化為證明(

a+μb

1+μ

)2≤

a2+μb2

1+μ

，即可得結(jié)論．

解答：（1）解：令g（x）=（e^a+2）x²+e^ax+e^a-2，
∵g（-1）=e^a＞0，且對(duì)稱軸x=-

ea

4+2ea

∈(-1，0)
所以△=e^2a-4（e^2a-4）≤0
∴3e^2a≥16
∴a≥ln

4 3

3

（2）證明：令h(x)=f(x)-x=

1-x2

1+x+x2

-x
h′(x)=

-2x(1+x+x2)-(1-x2)(2x+1)

(1+x+x2)2

-1=

-x2-4x-1

(1+x+x2)2

-1＜0(x＞0)
所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)
現(xiàn)證明(

a+μb

1+μ

)2≤

a2+μb2

1+μ

只需證明

a2+μ2b2+2μab

1+μ

≤a2+μb2
只需證明a²+μ²b²+2μab≤a²+μb²+μa²+μ²b²
2μab≤μb²+μa²顯然成立
∴h[(

a+μb

1+μ

)2]≥h(

a2+μb2

1+μ

)
即有f[(

a+μb

1+μ

)2]-f（

a2+μb2

1+μ

）≥(

a+μb

1+μ

)2-

a2+μb2

1+μ

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，同時(shí)考查了分析法證明不等式，綜合性強(qiáng)．