Question

已知函數(shù)f（x）=g（x）•e^-x在x=

π

6

處有極值，則函數(shù)y=g（x）的圖象可能是（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：先對f（x）求導，再利用極值的性質(zhì)，得到f′（

π

6

）=0，即g′（

π

6

）=g（

π

6

），由導數(shù)的幾何意義得在x=

π

6

處的導數(shù)值即切線的斜率，等于

π

6

的函數(shù)值，再對選項一一加以判斷，即可得到A正確，B，C，D均錯．

解答： 解：函數(shù)f（x）=g（x）•e^-x在的導數(shù)f′（x）=g′（x）•e^-x+g（x）•e^-x•（-1）
=e^-x•（g′（-x）-g（x）），
由于函數(shù)f（x）=g（x）•e^-x在x=

π

6

處有極值，
則f′（

π

6

）=0，即有g′（

π

6

）-g（

π

6

）=0，即g′（

π

6

）=g（

π

6

），
由導數(shù)的幾何意義得在x=

π

6

處的導數(shù)值即切線的斜率，等于

π

6

的函數(shù)值，
對于A．在x=

π

6

處的切線的斜率為負值，函數(shù)值也為負，故A正確；
對于B．在x=

π

6

處的切線的斜率為負值，函數(shù)值為正，故B錯；
對于C．在x=

π

6

處的切線的斜率為正值，函數(shù)值為負，故C錯；
對于D．在x=

π

6

處的切線的斜率為正值，函數(shù)值為0，故D錯．
故選A．

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義：曲線在某點處的切線的斜率，考查極值的概念及運用，考查判斷能力和觀察能力，屬于中檔題．