求證：
nn!
≤
(n+1)(n+2)
6
．
考點(diǎn)：不等式的證明
專(zhuān)題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：檢驗(yàn)n=1時(shí)，不等式顯然成立，當(dāng)n＞1，n∈N時(shí)，由n元均值不等式可得，
1+2+3+…+n
n
＞
n1•2•3…n
，運(yùn)用求和公式和階乘的概念，即得
n+1
2
＞
nn!
，再由
(n+1)(n+2)
6
-
n+1
2
，化簡(jiǎn)整理，即可得證．
解答： 證明：當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊為1，右邊為
2×3
6
=1，
則有
nn!
=
(n+1)(n+2)
6
；
當(dāng)n＞1，n∈N時(shí)，
由于
1+2+3+…+n
n
＞
n1•2•3…n
，
即有
n(n+1)
2n
＞
nn!
，即
n+1
2
＞
nn!
，
又
(n+1)(n+2)
6
-
n+1
2
=
(n+1)(n-1)
6
，
則
(n+1)(n+2)
6
＞
n+1
2
，
則有
nn!
＜
(n+1)(n+2)
6
．
綜上，可得
nn!
≤
(n+1)(n+2)
6
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查運(yùn)用n元均值不等式，證明不等式，考查推理能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}的子集恰有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)a的集合為（　　）
A、{a|a＜1}
B、{a|a＜1且a≠0}
C、{0，1}
D、{1}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx-x2．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[
1
2
，2]上的最大值；
（2）令g（x）=f（x）+ax，若y=g（x）在（0，3）不單調(diào)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
-|x3-2x2+x|(x＜1)
lnx(x≥1)
，若命題“?t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命題，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC的內(nèi)角∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊為a、b、c，cosA=
2
5
5
，且△ABC的面積為
5
，求△ABC周長(zhǎng)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=tx2-4x-2，
（Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（Ⅱ）當(dāng)t=2且f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），f（1-m）-f（2m-1）＜0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，且在區(qū)間（1，2）上為單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)t取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知冪函數(shù)求導(dǎo)公式：（xα）'=α•xα-1對(duì)α∈R均成立．
（1）當(dāng)α≥1，且x＞-1時(shí)，試證明：（1+x）α≥1+αx，
（2）設(shè)a，b∈（0，1）．試證明：aa+bb≥ab+ba．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=3，a3=7，其前n項(xiàng)和為Sn，{bn}為等比數(shù)列，b1=2，且b2S2=32．
（Ⅰ）求an與bn；
（Ⅱ）若
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
≤x2+ax+1對(duì)任意正整數(shù)n和任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且對(duì)于x＞0滿(mǎn)足f（
x
y
）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，試求解不等式f（x+3）-f（
1
x
）＜2．

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