Question

已知冪函數(shù)求導(dǎo)公式：（x^α）'=α•x^α-1對(duì)α∈R均成立．
（1）當(dāng)α≥1，且x＞-1時(shí)，試證明：（1+x）^α≥1+αx，
（2）設(shè)a，b∈（0，1）．試證明：a^a+b^b≥a^b+b^a．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）令h（x）=（1+x）^α-αx-1，求導(dǎo)數(shù)，當(dāng)α＞1時(shí)，（1+x）^α-1-1單調(diào)遞增，討論在x＞-1時(shí)，求出單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間，得到x=0是h（x）的唯一極小值點(diǎn)，則h（x）≥h（0）=0，即可得證；
（2）分a=b和a≠b兩種情況證明結(jié)論，并構(gòu)造函數(shù)φ（x）=x^a-x^b，先證得φ（x）是單調(diào)減函數(shù)，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答： 證明：（1）令h（x）=（1+x）^α-αx-1，
h'（x）=α（1+x）^α-1-α=α[（1+x）^α-1-1]，
當(dāng)α=1時(shí)，不等式顯然成立；
當(dāng)α＞1時(shí)，（1+x）^α-1-1單調(diào)遞增，
當(dāng)x=0時(shí)，h'（x）=0，
當(dāng)x∈（-1，0），h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
∴x=0是h（x）的唯一極小值點(diǎn)，
∴h（x）≥h（0）=0，（1+x）^α≥αx+1恒成立；
（2）當(dāng)a=b，不等式顯然成立；
當(dāng)a≠b時(shí)，不妨設(shè)a＜b，
則a^a+b^b≥a^b+b^a?a^a-a^b≥b^a-b^b，
令φ（x）=x^a-x^b，x∈[a，b]
下證φ（x）是單調(diào)減函數(shù)．
∵φ′（x）=ax^a-1-bx^b-1=ax^b-1（x^a-b-

b

a

）
易知a-b∈（-1，0），1+a-b∈（0，1），

1

1+a-b

＞1，
由（1）知當(dāng)t＞1，（1+x）^t＞1+tx，x∈[a，b]，
∴b

1

1+a-b

=[1+(b-1)]

1

1+a-b

＞1+

b-1

1+a-b

=

a

1+a-b

＞a，
∴b＞a^1+a-b，∴

b

a

＞a^a-b≥x^a-b，
∴φ'（x）＜0，
∴φ（x）在[a，b]上單調(diào)遞減．
∴φ（a）＞φ（b），
即a^a-a^b＞b^a-b^b，
∴a^a+b^b＞a^b+b^a．
綜上，a^a+b^b≥a^b+b^a成立．

點(diǎn)評(píng)：考查不等式的證明，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式的方法，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵．