Question

14．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如圖），已知點(diǎn)P在直線BC₁上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題：
①三棱錐A-D₁PC的體積不變；
②直線AP與平面ACD₁所成的角的大小不變；
③二面角P-AD₁-C的大小不變；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到點(diǎn)D和C₁距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是直線A₁D₁．
其中真命題的編號(hào)是①③④（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

分析 ①：點(diǎn)P是直線BC₁的動(dòng)點(diǎn)，△AD₁P的面積是定值，而點(diǎn)C到平面AD₁P的距離也是定值，故得到結(jié)論；
②：可以從向量的角度進(jìn)行判斷；
③：平面PD₁A平面ACD₁的法向量的夾角是不變的，得到結(jié)論．
④：由M是平面A₁B₁C₁D₁上到點(diǎn)D和C₁距離相等的點(diǎn)，M點(diǎn)的軌跡是線段DC₁在空間的垂直平分線與面A₁B₁C₁D₁的交點(diǎn)．

解答 解：對(duì)于①：∵點(diǎn)P是直線BC₁的動(dòng)點(diǎn)，∴△AD₁P的面積是定值，∵點(diǎn)C到平面AD₁P的距離不變，∴①正確；
對(duì)于②：∵隨著P點(diǎn)的移動(dòng)，$\overrightarrow{AP}$與平面ACD₁的法向量的夾角也是變化的，∴②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：∵平面PD₁A平面ACD₁的法向量的夾角是不變的，∴③正確；
對(duì)于④：∵M(jìn)是平面A₁B₁C₁D₁上到點(diǎn)D和C₁距離相等的點(diǎn)，∴M點(diǎn)的軌跡是線段DC₁在空間的垂直平分線與面A₁B₁C₁D₁的交點(diǎn)，故其軌跡是直線A₁D₁，故④正確．
故答案為，①③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，空間軌跡問(wèn)題，屬于中檔題．