Question

11．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB=5，BC=4，AC=3，M是AB邊上的點(diǎn)，P是平面ABC外一點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：
①若PA⊥平面ABC，則三棱錐P-ABC的四個(gè)面都是直角三角形；
②若PM⊥平面ABC，且M是AB邊的中點(diǎn)，則有PA=PB=PC；
③若PC=5，PC⊥平面ABC，則△PCM面積的最小值為$\frac{15}{2}$；
④若PC=5，P在平面ABC上的射影是內(nèi)切圓的圓心O，則PO長(zhǎng)為$\sqrt{23}$；
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由PA由PA⊥平面ABC，得PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，從而得到四個(gè)面都是直角三角形；連接CM，當(dāng)PM⊥平面ABC時(shí)，得到BM=AM=CM，從而得到PA=PB=PC；當(dāng)PC⊥平面ABC時(shí)，CM⊥AB時(shí)，CM取得最小值，由此求出S_△PCM的最小值是6；設(shè)△ABC內(nèi)切圓的圓心是O，則PO⊥平面ABC，連接OC，則有PO²+OC²=PC²，從而能求出PO=$\sqrt{23}$．

解答 解：對(duì)于①，如圖，因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，
故四個(gè)面都是直角三角形，故①正確；
對(duì)于②，連接CM，當(dāng)PM⊥平面ABC時(shí)，PA²=PM²+MA²，
PB²=PM²+BM²，PC²=PM²+CM²，
因?yàn)镸是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，所以BM=AM=CM，
故PA=PB=PC，故②正確；
對(duì)于③，當(dāng)PC⊥平面ABC時(shí)，
S_△PCM=$\frac{1}{2}$PC•CM=$\frac{1}{2}$×5×CM．
CM⊥AB時(shí)，CM取得最小值，長(zhǎng)度為$\frac{12}{5}$，
所以S_△PCM的最小值是$\frac{1}{2}$×5×$\frac{12}{5}$=6，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，設(shè)△ABC內(nèi)切圓的圓心是O，則PO⊥平面ABC，連接OC，則有PO²+OC²=PC²，
又內(nèi)切圓半徑r=$\frac{1}{2}$（3+4-5）=1，所以O(shè)C=$\sqrt{2}$，
PO²=PC²-OC²=25-2=23，故PO=$\sqrt{23}$，故④正確．
綜上，正確的命題有①②④．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了空間中的角與距離的計(jì)算問題，是綜合性題目．