Question

14．如圖，在矩形ABCD中，點E是BC邊上中點，點F在邊CD上．
（1）若點F是CD上靠近C的三等分點，設$\overrightarrow{EF}$=λ$\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AD}$，求λ+μ的值．
（2）若AB=$\sqrt{3}$，BC=2，當$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=1時，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的加減的幾何意義即可求出；
（2）建立平面直角坐標系，設F（x，2），根據(jù)向量坐標的數(shù)量積求出x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即求出DF的長．

解答 解：（1）$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$-（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$）=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DC}$-（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$-（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AD}$，
∴λ=-$\frac{1}{3}$，μ=$\frac{1}{2}$，
∴λ+μ=$\frac{1}{6}$．
（2）以AB，AD為x，y軸建立直角坐標系如圖：AB=$\sqrt{3}$，BC=2
則A（0，0），B（$\sqrt{3}$，0），E（$\sqrt{3}$，1），
設F（x，2），
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{BF}$=（x-$\sqrt{3}$，2），
∵$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=1，
∴$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{3}$）+2=1，
∴x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴|DF|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查向量的加減的幾何意義和向量在幾何中的應用，建立平面直角坐標系是解題的關鍵之一，考查計算能力．