Question

5．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的短軸一個端點到右焦點F的距離為2，且過點$（{-1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設M，N為橢圓C上不同的兩點，A，B分別為橢圓C上的左右頂點，直線MN既不平行與坐標軸，也不過橢圓C的右焦點F，若∠AFM=∠BFN，求證：直線MN過定點．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：a=2，將點代入橢圓方程，即可求得b的值，即可求得橢圓方程；
（2）設直線MN的方程y=k₁x+m，代入橢圓方程，由韋達定理，及k_FM+k_FN=0，即可求得m=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$k₁，直線MN的方程為y=k₁（x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），則直線MN過定點（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）．

解答 解：（1）由題意可知：短軸一個端點到右焦點F的距離為2，則a=2，
將$（{-1，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$代入橢圓方程可得$\frac{1}{4}+\frac{3}{4^{2}}=1$，解得：b²=1，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：由（1）可知：F（$\sqrt{3}$，0），
設直線MN的方程y=k₁x+m，（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
則$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k₁²）x²+8k₁mx+4m²-4=0，
x₁+x₂=-$\frac{8{k}_{1}m}{1+4{k}_{1}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}_{1}^{2}}$，
由∠AFM=∠BFN，則k_FM+k_FN=0，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-\sqrt{3}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-\sqrt{3}}$=0，
（k₁x₁+m）（x₂-$\sqrt{3}$）+（k₁x₂+m）（x₁-$\sqrt{3}$）=0，
整理得：2k₁x₁x₂-（m-$\sqrt{3}$k₁）（x₁+x₂）-2$\sqrt{3}$m=0，
則2k₁×$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}_{1}^{2}}$-（m-$\sqrt{3}$k₁）（-$\frac{8{k}_{1}m}{1+4{k}_{1}^{2}}$）-2$\sqrt{3}$m=0，
解得：m=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$k₁，
∴直線MN的方程為y=k₁（x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
則直線MN過定點（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．