【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}(nN*),首項(xiàng)a13,前n項(xiàng)和為Sn,且S3a3、S5a5S4a4成等差數(shù)列.

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

2)數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Tn,若對(duì)任意正整數(shù)n,都有Tn[a,b],求ba的最小值.

【答案】(1)an3×()n1.(2)9.

【解析】試題分析:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意,列成方程,求解 ,即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)由(1)知nan=3n×,用乘公比錯(cuò)位相減法求的Tn,根據(jù)Tn的增減性,求解3≤Tn<12,即可求解ba的最小值.

試題解析:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q

S3a3、S5a5、S4a4成等差數(shù)列,

∴有2(S5a5)=(S3a3)+(S4a4)

即2(a1a2a3a4+2a5)=(a1a2+2a3)+(a1a2a3+2a4),

化簡(jiǎn)得4a5a3,從而4q2=1,解得q=±,

an>0,∴q,得an=3×()n-1.

(2)由(1)知,nan=3n×()n-1Tn=3×1+3×2×()+3×3×()2+…+3n()n-1;

Tn=3×1×()+3×2×()2+…+3(n-1)×()n-1+3n()n

兩式相減得:Tn=3×1+3×()+3×()2+…+3×()n-1-3n()n

=3×-3n()n=6-,

Tn=12-<12.

nan=3n×()n-1>0,∴{Tn}單調(diào)遞增,

∴(Tn)minT1=3,故有3≤Tn<12.

∵對(duì)任意正整數(shù)n,都有Tn∈[ab],

a≤3,b≥12.

a的最大值為3,b的最小值為12.

故(ba)min1239.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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