Question

19．已知函數(shù)f（x）=log_a（a^x+1）+bx（a＞0且a≠1，b∈R）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且滿足f（0）=1．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x+c在[0，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)φ（x）=2^f（2x）+x+λ×2^x-1（x∈-1，2]），是否存在實(shí)數(shù)λ使得φ（x）的最小值為-1，若存在，求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（0）=1，得a=2，函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）+bx的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)⇒f（x）=f（-x）求得b
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x+c在[0，1]上存在零點(diǎn)?即方程log₂（2^x+1）-x=-c在[0，1]上有解，
g（x）=log₂（2^x+1）-x與y=-c由交點(diǎn)，
（Ⅲ）函數(shù)φ（x）=2^f（2x）+x+λ×2^x-1=4^x+1+λ•2^x-1=4^x+λ•2^x
令t=2^x，h（t）=t²+λt，t∈[$\frac{1}{2}$，4]
結(jié)合二次函數(shù)圖象，分類(lèi)求最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=log_a（a^x+1）+bx（a＞0且a≠1，b∈R）滿足f（0）=1，∴a=2
函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）+bx的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)⇒log₂（2^x+1）+bx=log₂（2^-x+1）-bx
⇒2bx=bx=log₂（2^-x+1）-log₂（2^x+1）=log₂2^-x=-x，∴b=-$\frac{1}{2}$
綜上a=2，b=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x+c在[0，1]上存在零點(diǎn)?方程log₂（2^x+1）-x+c=0在[0，1]上有解，
即方程log₂（2^x+1）-x=-c在[0，1]上有解，
令g（x）=log₂（2^x+1）-x=log₂$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}}$=log₂（1+$\frac{1}{{2}^{x}}$）$∈[lo{g}_{2}\frac{3}{2}，1]$，
∴-1≤c≤-log₂$\frac{3}{2}$⇒實(shí)數(shù)c的取值范圍為[-1，-log2$\frac{3}{2}$]
（Ⅲ）函數(shù)φ（x）=2^f（2x）+x+λ×2^x-1=4^x+1+λ•2^x-1=4^x+λ•2^x
令t=2^x，h（t）=t²+λt，t∈[$\frac{1}{2}$，4]
故當(dāng)-$\frac{λ}{2}$≤$\frac{1}{2}$，即λ≥-1時(shí)，當(dāng)t=$\frac{1}{2}$，函數(shù)的最小值$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}λ=-1$，⇒λ=-$\frac{5}{2}$（舍去）；
當(dāng)$\frac{1}{2}＜-\frac{λ}{2}＜4，即-8＜λ＜-1$，t=-$\frac{λ}{2}$時(shí)，函數(shù)最小值為$\frac{-{λ}^{2}}{4}=-1解得λ=-2或2（舍去）$；
當(dāng)$-\frac{λ}{2}≥4，即λ≤-8時(shí)$，當(dāng)t=4時(shí)，函數(shù)最小值為12+4λ=-1，解得$λ=-\frac{13}{4}$（舍去）
綜上：存在實(shí)數(shù)λ=-2使得φ（x）的最小值為-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)型、指數(shù)函數(shù)型的函數(shù)運(yùn)算與性質(zhì)，含參數(shù)二次函數(shù)最值問(wèn)題，屬于難題．