Question

1．已知Rt△ABC，AB=3，BC=4，CA=5，P為△ABC外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}，則x+y$的最大值是（　�。�

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{17}}}{6}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以ACx軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$cosθ，$\frac{5}{2}$sinθ），求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)乘運(yùn)算得到x+y=$\frac{5}{6}$sin（θ+φ）+$\frac{1}{2}$，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出答案

解答 解：以AC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以ACx軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則△ABC外接圓的方程為x²+y²=2.5²，
設(shè)P的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$cosθ，$\frac{5}{2}$sinθ），
過(guò)點(diǎn)B作BD垂直x軸，
∵sinA=$\frac{4}{5}$，AB=3
∴BD=ABsinA=$\frac{12}{5}$，AD=AB•cosA=$\frac{3}{5}$×3=$\frac{9}{5}$，
∴OD=AO-AD=2.5-$\frac{9}{5}$=$\frac{7}{10}$，
∴B（-$\frac{7}{10}$，$\frac{12}{5}$），
∵A（-$\frac{5}{2}$，0），C（$\frac{5}{2}$，0）
∴$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$），$\overrightarrow{AC}$=（5，0），$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{5}{2}$cosθ+$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$sinθ）
∵$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$
∴（$\frac{5}{2}$cosθ+$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$sinθ）=x（$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$）+y（5，0）=（$\frac{9}{5}$x+5y，$\frac{12}{5}$x）
∴$\frac{5}{2}$cosθ+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{5}$x+5y，$\frac{5}{2}$sinθ=$\frac{12}{5}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{3}{8}$sinθ+$\frac{1}{2}$，x=$\frac{25}{24}$sinθ，
∴x+y=$\frac{1}{2}$cosθ+$\frac{2}{3}$sinθ+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$sin（θ+φ）+$\frac{1}{2}$，其中sinφ=$\frac{3}{5}$，cosφ=$\frac{4}{5}$，
當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)，x+y有最大值，最大值為$\frac{5}{6}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{4}{3}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)乘運(yùn)算和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及直角三角形的問(wèn)題，考查了學(xué)生的分析解決問(wèn)題的能力，屬于難題．