Question

16．已知A、B是圓O：x²+y²=16的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，|$\overrightarrow{AB}$|=4，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$．若M是線段AB的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OM}$的值為（　　）

• A． 8+4$\sqrt{3}$
• B． 8-4$\sqrt{3}$
• C． 12
• D． 4

Answer 1

分析 M是線段AB的中點(diǎn)⇒$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，從而$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{OA}$²-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$²+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，再結(jié)合題意，可知＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=60°，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=4，故$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=8，$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OM}$=12．

解答 解：因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn)，所以$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，
從而$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{OA}$²-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$²+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，
由圓的方程可知圓O的半徑為4，
即|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=4，
又因?yàn)閨$\overrightarrow{AB}$|=4，
所以＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞=60°，
故$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=8，
所以$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OM}$=$\frac{5}{6}$×16-$\frac{1}{3}$×16+$\frac{1}{2}$×8=12．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查向量加法及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．