Question

5．若直線3x+4y=2，則x²+y²的最小值為$\frac{4}{25}$，最小值點為（$\frac{6}{25}$，$\frac{8}{25}$）．

Answer 1

分析 由柯西不等式（x²+y²）（3²+4²）≥（3x+4y）²=4，可得x²+y²≥$\frac{4}{25}$，由等號成立的條件和直線方程聯(lián)立，求解即可得出結(jié)論．

解答 解：由柯西不等式（x²+y²）（3²+4²）≥（3x+4y）²=4，
即25（x²+y²）≥4，
∴x²+y²≥$\frac{4}{25}$．
當(dāng)且僅當(dāng)4x=3y時取等號．
由$\left\{\begin{array}{l}{4x=3y}\\{3x+4y=2}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{25}}\\{y=\frac{8}{25}}\end{array}\right.$
∴x²+y²的最小值為$\frac{4}{25}$，最小值點為（$\frac{6}{25}$，$\frac{8}{25}$）．

點評 本題考查柯西不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運用柯西不等式是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．