Question

已知函數(shù)∈R）．

（1）若，求點(diǎn)（）處的切線方程；

（2）設(shè)a≤0，求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)a＜0，且對(duì)任意的，≤，試比較與的大�。�

 

Answer 1

（1）2x－2y－3＝0;（2）遞增區(qū)間（0，），遞減區(qū)間（，＋∞）；（3）ln（－a）＜－2b.

【解析】

試題分析：（1）a＝b＝1時(shí)，直接求導(dǎo)數(shù)，可得f '（1）和f（1）的值，利用點(diǎn)斜式可寫出切線方程；（2）a＜0時(shí)，根據(jù)b的范圍和導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)，可求出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；（3）由題意知函數(shù)f（x）在x＝2處取得最大值，得到a與b的等量關(guān)系式，然后比差，再利用函數(shù)的思想，得出ln（－a）與－2b的大小.

試題解析：（1）a＝b＝1時(shí)，，，

∴，， 2分

故f（x）點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是2x－2y－3＝0． 3分

（2）由，得．

（1）當(dāng)a＝0時(shí)，．

①若b≤0，

由x＞0知恒成立，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，＋∞）．

5分

②若b＞0，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，），單調(diào)遞減區(qū)間是（，＋∞）．

7分

（2）當(dāng)a＜0時(shí)，，得，

由△＝b2－4a＞0得．

顯然，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，），

單調(diào)遞減區(qū)間是（，＋∞）． 9分

綜上所述：

當(dāng)a＝0，b≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，＋∞）；

當(dāng)a＝0，b＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，），單調(diào)遞減區(qū)間是（，＋∞）；

當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，），

單調(diào)遞減區(qū)間是（，＋∞）． 10分

（3）由題意知函數(shù)f（x）在x＝2處取得最大值．

由（2）知，是f（x）的唯一的極大值點(diǎn)，

故＝2，整理得－2b＝－1－4a．

于是

令，則．

令，得，當(dāng)時(shí)，，g（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，g（x）單調(diào)遞減．

因此對(duì)任意x＞0，g（x）≤，又－a＞0，

故g（－a）＜0，即ln（－a）＋1＋4a＜0，即ln（－a）＜－1－4a＝－2b，

∴ ln（－a）＜－2b． 14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，不等式