Question

已知曲線C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數(shù)），C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)）
（1）化C₁，C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線？
（2）若C₁上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=

π

2

，Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線x-2y-7=0的距離的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的參數(shù)方程,圓的參數(shù)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：本題可以利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式消去參數(shù)，得到曲線的普通方程；（2）根據(jù)橢圓的參數(shù)方程設(shè)出橢圓上一點(diǎn)，求出點(diǎn)到直線距離后，研究其最小值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵曲線C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t為參數(shù)），
∴C1：(x+4)2+(y-3)2=1．
∴曲線C₁是圓．
∵曲線C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ為參數(shù)），
∴C2：

x2

64

+

y2

9

=1．
∴曲線C₂是橢圓．
（2）∵C₁上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=

π

2

，
∴P（-4，4）．
∵Q為C₂上的動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)Q（8cosθ，3sinθ），
則M(

8cosθ-4

2

，

3sinθ+4

2

)d=

|4cosθ-2-3sinθ-4-7|

1+4

=

|5cos(θ-ϕ)-13|

5

，
dmin=

8

5

=

8 5

5

．
∴PQ的中點(diǎn)M到直線x-2y-7=0的距離的最小值為

8

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是曲線的參數(shù)方程和普通方程的互化，以及曲線參數(shù)方程的應(yīng)用．本題難度不大，屬于中檔題．