Question

8．已知函數(shù)f（x）=2^x+2^-x．
（Ⅰ）試寫出這個函數(shù)的性質(zhì)（不少于3條，不必說明理由），并作出圖象；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=4^x+4^-x-af（x），求這個函數(shù)的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）列出函數(shù)的偶函數(shù)；定義域R；值域；單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間，選擇3項即可，畫出圖象．
（Ⅱ）設(shè)2^x+2^-x=t（t≥2），則4^x+4^-x=t²-2，設(shè)k（t）=t²-2-at=t²-at-2，通過a與2討論，利用二次函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：（Ⅰ）偶函數(shù)；定義域R；值域{y|y≥2}；
單調(diào)遞增區(qū)間：（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間：（-∞，0）等-----（4分）
圖象如圖：．-----（6分）
（Ⅱ）設(shè)2^x+2^-x=t（t≥2），則4^x+4^-x=t²-2，設(shè)k（t）=t²-2-at=t²-at-2，
?$\frac{a}{2}≤2，即a≤4$時，k（t）_min=k（2）=2-2a；
?$\frac{a}{2}＞2，即a＞4$時$k{（t）_{min}}=k（\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}-2$．
所以，?$\frac{a}{2}≤2，即a≤4$時，g（x）_min=2-2a；
?$\frac{a}{2}＞2，即a＞4$時$g{（x）_{min}}=-\frac{a^2}{4}-2$．----（12分）

點評 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的圖象的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及分類討論思想的應(yīng)用．