Question

12．已知函數(shù)f（x）=ae^x•cosx-xsinx，且曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線與x-y=0平行．
（1）求a的值；
（2）當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$時(shí)，試探究函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用f′（0）=1，求a的值；
（2）當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$時(shí)，分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可探究函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）f′（x）=ae^x•（cosx-sinx）-sinx-xcosx，
∵f′（0）=1，∴a=1；
（2）①x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，f′（x）=（e^x-x）cosx-（e^x+1）sinx，（e^x-x）cosx≥0，
（e^x+1）sinx≤0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上至多只有一個(gè)零點(diǎn)，
∵f（0）=1＞0，f（-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$＜0，
∴f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上只有一個(gè)零點(diǎn)，
②x∈[0，$\frac{π}{4}$]，f（x）＞0恒成立，證明如下：
設(shè)g（x）=e^x-x，則g′（x）=e^x-1≥0，函數(shù)單調(diào)遞增，
此時(shí)g（x）＞g（0）=0，e^x＞x，cosx≥sinx＞0，
∴e^x•cosx＞xsinx，∴f（x）＞0，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；
③x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，f′（x）=e^x•（cosx-sinx）-sinx-xcosx＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上至多只有一個(gè)零點(diǎn)，
∵f（$\frac{π}{4}$）＞0，f（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$＜0，
∴f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上只有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．