Question

【題目】拋物線y2=2px(p>0)與直線y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是拋物線上兩個(gè)動點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),且|AF|+|BF|=8.

(1)求p的值.

(2)線段AB的垂直平分線l與x軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)?若是,求出交點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說明理由.

(3)求直線l的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）

【解析】

(1)聯(lián)立切線方程與拋物線方程，根據(jù)相切時(shí)判別式為0即可求得p的值。

(2)根據(jù)|AF|+|BF|=8，結(jié)合拋物線定義可轉(zhuǎn)化為與A、B橫坐標(biāo)相關(guān)的等式，從而求得x1+x2=6.設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)(m,0)，因?yàn)?/span>C在AB的垂直平分線上，所以|AC|=|BC|。然后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，代入兩個(gè)橫坐標(biāo)的和即可求得m的值，進(jìn)而確定過定點(diǎn)。

(3)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),表示出直線l方程y=k1(x-5)。將AB中點(diǎn)坐標(biāo)代入方程后得到M的坐標(biāo)與直線斜率k之間的關(guān)系。根據(jù)中點(diǎn)M的在拋物線內(nèi)可得不等式，進(jìn)而求得k的范圍。

(1)因?yàn)閽佄锞�y2=2px(p>0)與直線y=x+1相切,所以由得y2-2py+2p=0(p>0)有兩個(gè)相等實(shí)根,所以Δ=4p2-8p=4p(p-2)=0,解得p=2.

(2)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線x=1.且|AF|+|BF|=8,

所以由定義得x1+x2+2=8,則x1+x2=6.

設(shè)直線AB的垂直平分線l與x軸的交點(diǎn)C(m,0).

由C在AB的垂直平分線上,從而|AC|=|BC|,

即(x1-m)2+=(x2-m)2+,

所以(x1-m)2-(x2-m)2=,

即(x1+x2-2m)(x1-x2)=4x2-4x1=-4(x1-x2).

因?yàn)?/span>x1≠x2,所以x1+x2-2m=-4.

又因?yàn)?/span>x1+x2=6,所以m=5.

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,0).

即直線AB的垂直平分線l與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)(5,0).

(3)設(shè)直線l的斜率為k1,由(2)可設(shè)直線l方程為y=k1(x-5).

設(shè)AB的中點(diǎn)M(x0,y0),由x0==3,可得M(3,y0).

因?yàn)橹本�l過點(diǎn)M(3,y0),所以y0=-2k1.

又因?yàn)辄c(diǎn)M(3,y0)在拋物線y2=4x的內(nèi)部,

所以<12.即4<12,則<3.

因?yàn)?/span>x1≠x2,則k1≠0.

所以k1的取值范圍為(-,0)∪(0,).