Question

【題目】在平面直角坐標系中，動圓經(jīng)過點M（a﹣2，0），N（a+2，0），P（0，﹣2），其中a∈R．
（1）求動圓圓心的軌跡E的方程；
（2）過點P作直線l交軌跡E于不同的兩點A、B，直線OA與直線OB分別交直線y=2于兩點C、D，記△ACD與△BCD的面積分別為S1 ， S2 ． 求S1+S2的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設動圓圓心的坐標為（x，y），則 ，可知 ．

所以動圓圓心的軌跡E的方程

（2）解：直線l的斜率一定存在，設l的方程為y=kx﹣2，

與拋物線方程聯(lián)立，得x2+4kx﹣8=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣8，

設直線OA方程為y= x，

y=2，得C的橫坐標﹣ ．

同理得D的橫坐標﹣ ，

所以|CD|=| |=4 ，

所以S1= =2（4﹣kx1） ，

同理S2=2（4﹣kx2） ，

則S1+S2=8

令t= ，（t≥ ），則S1+S2=8t3

令f（t）=8t3，則f′（t）=24t2，t 時，f′（t）＞0

所以f（t）=8t3是[ ）的增函數(shù)，所以f（t） ，

即S1+S2的最小值為16

【解析】（1）利用直接法求動圓圓心的軌跡E的方程；（2）直線l的斜率一定存在，設l的方程為y=kx﹣2，求出S1 ， S2 ． 利用導數(shù)的方法求S1+S2的最小值．