Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且f（0）≠0，f（

1

2

）=0
（1）求證：f（x）是偶函數(shù)
（2）求掙：f（x）是周期函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令y=0化簡f（x）+f（x）=2f（x）f（0）可求得f（0）=1；再令x=0求得f（y）=f（-y）；從而證明；
（2）令y=

1

2

可得f（x+

1

2

）+f（x-

1

2

）=0；從而可得f（x）=-f（x+1）；從而證明．

解答： 證明：（1）令y=0；
則f（x）+f（x）=2f（x）f（0），
故2f（x）（f（0）-1）=0；
故f（0）=1；
令x=0得，
f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），
故f（y）=f（-y）；
又∵其定義域?yàn)镽；
故f（x）是偶函數(shù)．
（2）令y=

1

2

得，
f（x+

1

2

）+f（x-

1

2

）=2f（x）f（

1

2

），
故f（x+

1

2

）+f（x-

1

2

）=0；
故f（x）=-f（x+1）；
故f（x）=-f（x+1）=-（-f（x+2））=f（x+2）；
故f（x）的周期為2，即f（x）是周期函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)的判斷與證明，屬于中檔題．