Question

11．已知直線y=x+1與橢圓mx²+my²=1（m＞n＞0）相交于A，B兩點，若弦AB的中點的橫坐標等于-$\frac{1}{3}$，則雙曲線$\frac{y^2}{m^2}-\frac{x^2}{n^2}$=1的離心率等于（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{2}{3}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{m{x}^{2}+n{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（m+n）x²+2nx+n-1=0⇒x₁+x₂=$\frac{-2n}{m+n}=-\frac{2}{3}$⇒m=2n即可．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{2}{3}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{m{x}^{2}+n{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（m+n）x²+2nx+n-1=0⇒x₁+x₂=$\frac{-2n}{m+n}=-\frac{2}{3}$⇒m=2n
雙曲線$\frac{y^2}{m^2}-\frac{x^2}{n^2}$=1的離心率e，e²=$1+\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}=\frac{5}{4}$⇒e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：C

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關系，及雙曲線離心率，屬于中檔題．