Question

5．已知實(shí)數(shù)x滿足3^2x-4-$\frac{10}{3}•{3^{x-1}}$+9≤0且f（x）=log₂$\frac{x}{2}•{log_{\sqrt{2}}}\frac{{\sqrt{x}}}{2}$．
（1）求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）將3^x-2看作一個(gè)整體，因式分解結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)從而求出x的范圍即可；（2）先將f（x）配方，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最值即可．

解答 解：（1）由${3^{2x-4}}-\frac{10}{3}•{3^{x-1}}+9≤0$，
得3^2x-4-10•3^x-2+9≤0，
即（3^x-2-1）（3^x-2-9）≤0，
∴1≤3^x-2≤9，2≤x≤4-----------------------------------（6分）
（2）因?yàn)?f（x）={log_2}\frac{x}{2}•{log_{\sqrt{2}}}\frac{{\sqrt{x}}}{2}=（{{{log}_2}x-1}）（{{{log}_2}x-2}）$
=$log_2^2x-3{log_2}x+2={（{{{log}_2}x-\frac{3}{2}}）^2}-\frac{1}{4}$，---------------------------（10分）
當(dāng)${log_2}x=\frac{3}{2}$，即$x=2\sqrt{2}$時(shí)，${y_{min}}=-\frac{1}{4}$--------------------------------------------------（12分）
當(dāng)log₂x=1或log₂x=2，即x=2或x=4時(shí)，y_max=0．---------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考察了對(duì)數(shù)以及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考察二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．