Question

14．若函數(shù)f（x）滿足：在定義域D內(nèi)存在實數(shù)x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，則稱函數(shù)f（x）為“1的飽和函數(shù)”．給出下列四個函數(shù)：①f（x）=$\frac{1}{x}$；②f（x）=2^x；③f（x）=lg（x²+2）；④f（x）=cos（πx）．其中是“1的飽和函數(shù)”的所有函數(shù)的序號為（　　）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①②
• D． ③④

Answer 1

分析 利用“1的飽和函數(shù)”的概念對所給的四個函數(shù)分別驗證，能求出結(jié)果．

解答 解：對于①，若存在實數(shù)x₀，滿足f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），
則$\frac{1}{{x}_{0}+1}=\frac{1}{{x}_{0}}+1$，所以${{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}+1=0，（{x}_{0}≠0，且{x}_{0}≠1）$，
該方程無實根，因此①不是“1的飽和函數(shù)”；
對于②，若存在實數(shù)x₀，滿足f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），
則${2}^{{x}_{0}+1}={2}^{{x}_{0}}+2$，解得x₀=1，因此②是“1的飽和函數(shù)”；
對于③，若存在實數(shù)x₀，滿足f（x₀+1）=f（x₀）+f（1），
則$lg[（{x}_{0}+1）^{2}+2]=lg（{{x}_{0}}^{2}+2）+lg（{1}^{2}+2）$，
化簡得$2{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}+3$=0，該方程無實根，因此③不是“1的飽和函數(shù)”；
對于④，注意到$f（\frac{1}{3}+1）=cos\frac{4π}{3}=-\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{3}$）+f（1）=$cos\frac{π}{3}+cosπ=-\frac{1}{2}$，
即f（$\frac{1}{3}+1$）=f（$\frac{1}{3}$）+f（1），
因此是“1的飽和函數(shù)”，
綜上可知，其中是“1的飽和函數(shù)”的所有函數(shù)的序號是②④．
故選：B．

點評 本題考查“1的飽和函數(shù)”的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．