Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^2}+m}}{x}$，且f（1）=2，
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，1]的增減性，并用單調(diào)性定義證明之；
（3）若f（k）＞2，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 由f（1）=2，求出m的值，寫出f（x）的解析式；
（1）利用奇偶性的定義判斷f（x）定義域上的奇函數(shù)；
（2）利用定義證明f（x）在（0，1]上是單調(diào)減函數(shù)；
（3）同理可證f（x）是[1，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，
再由單調(diào)性的定義轉(zhuǎn)化不等式f（k）＞2，從而求出k的取值范圍．

解答 解：由f（1）=2，
得$\frac{{1}^{2}+m}{1}$=2，
解得m=1；…（1分）
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$；
（1）∵f（x）定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對稱；
且$f（-x）=（-x）+\frac{1}{-x}=-（x+\frac{1}{x}）=-f（x）$，
∴f（x）是定義域上的奇函數(shù)；…（4分）
（2）f（x）在（0，1]上是單調(diào)減函數(shù)；
證明：設(shè)x₁，x₂是（0，1]上的任意兩個實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂…（5分）
則$f（{x_2}）-f（{x_1}）=（{x_2}+\frac{1}{x_2}）-（{x_1}+\frac{1}{x_1}）$…（6分）
=$（{x_2}-{x_1}）+（\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}）$
=$（{x_2}-{x_1}）+\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$
=$（{x_2}-{x_1}）（1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}）$；…（7分）
∵0＜x₁＜x₂≤1，
∴${x_2}-{x_1}＞0，0＜{x_1}{x_2}＜1，1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＜0$；…（8分）
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂）；…（9分）
∴f（x）在（0，1]上是單調(diào)減函數(shù)．…（10分）
（3）同理可證f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；…（11分）
由f（k）＞2得f（k）＞f（1），…（12分）
∴k＞1或0＜k＜1；…（13分）
即所求k的取值范圍是（0，1）∪（1，+∞）．                  …（14分

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的定義與應(yīng)用問題，是綜合性題目．