Question

6．如圖，旅客從某旅游區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50米/分鐘，在甲出發(fā)2分鐘后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1分鐘后，再從B勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130米/分鐘，山路AC長1260米，經(jīng)測量，cosA=$\frac{12}{13}$，cosC=$\frac{3}{5}$．
（1）求索道AB的長；
（2）問乙出發(fā)后多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理即可確定出AB的長；
（2）設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了（100+50t）m，乙距離A處130t m，由余弦定理即可得解．

解答 解：（1）在△ABC中，因為cosA=$\frac{12}{13}$，cosC=$\frac{3}{5}$，所以sinA=$\frac{5}{13}$，sinC=$\frac{4}{5}$，
從而sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{5}{13}$×$\frac{3}{5}+\frac{12}{13}×\frac{4}{5}$=$\frac{63}{65}$，
由正弦定理$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{AC}{sinB}$，得AB=$\frac{AC•sinC}{sinB}$=$\frac{1260×\frac{4}{5}}{\frac{63}{65}}$=1040m．
所以索道AB的長為1040m．
（2）假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了（100+50t）m，乙距離A處130t m，
所以由余弦定理得：d²=（100+50t）²+（130t）²-2×130t×（100+50t）×$\frac{12}{13}$=200（37t²-70t+50）=200[37（t-$\frac{35}{37}$）²+$\frac{625}{37}$]，
因0≤t≤$\frac{1040}{130}$，即0≤t≤8，
故當(dāng)t=$\frac{35}{37}$min時，甲、乙兩游客距離最短．

點評 此題考查了余弦定理，銳角三角函數(shù)定義，以及勾股定理，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于解直角三角形題型．