Question

設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=-1．
（1）求f（1），f（9）的值；
（2）若f（x）+f（x-8）≥-2，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=1易得f（1）=0；令x=y=3，可得f（3）+f（3）=f（9），求得f（9）的值；
（2）由f（x）+f（x-8）＞-2，知f（x）+f（x-8）=f[x（x-8）]≥f（9），再由函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上為減函數(shù)，能求出原不等式的解集．

解答： 解（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）
∴令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0
再令x=y=3，
∴f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2
（2）∵f（x）+f（x-8）≥-2，
∴f（x）+f（x-8）≥f（9），
∴f[x（x-8）]≥f（9）
∴

x＞0 x-8＞0 x(x-8)≤9

，
解得8＜x≤9
∴x的取值范圍是（8，9]

點(diǎn)評(píng)：本題是抽象函數(shù)及其應(yīng)用類(lèi)問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了抽象性、特值的思想以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．