Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n與1的等差中項，數列{b_n}中，b₁=2，點P（b_n，b_n+1）在直線y=x+2上．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列，并求通項公式；
（2）求數列{b_n}的通項b_n；
（3）設c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：等差數列與等比數列的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）先利用a_n是S_n與2的等差中項，可得S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，兩式作差即可求數列{a_n}的相鄰兩項之間的關系，找到規(guī)律即可求出通項；
（2）對于數列{b_n}，直接利用點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，代入得數列{b_n}是等差數列即可求通項；
（3）先把所求結論代入求出數列{c_n}的通項，再利用數列求和的錯位相減法即可求出其各項的和．

解答： 解：（1）∵a_n是S_n與2的等差中項
∴S_n=2a_n-2，∴S_n-1=2a_n-1-2，
又S_n-S_n-1=a_n，n≥2
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴數列{a_n}是等比數列，
∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ；
（2）∵點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，即數列{b_n}是等差數列，又b₁=1，∴b_n=2n-1，
（3）∵c_n=（2n-1）2ⁿ
∴T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹
因此：-T_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ）-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
即：-T_n=1×2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6．

點評：本題考查了數列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．考查計算能力．