Question

【題目】已知橢圓的離心率為，直線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與軸交于點(diǎn)，、是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且它們?cè)?/span>軸的兩側(cè)，的平分線在軸上，|，則直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過(guò)定點(diǎn).

【解析】

（1）求出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)的方程為，，，的平分線在軸上等價(jià)于，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得，從而得到所求的定點(diǎn).

（1）在直線方程中令，則，

故，又，故，所以，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）因?yàn)?/span>、在在軸的兩側(cè)，故的斜率必存在，

設(shè)的方程為，，，

因?yàn)?/span>在軸上且在直線，故.

因?yàn)?/span>的平分線在軸上，所以，而，

代入整理得到：.

由可得，

所以，

所以，化簡(jiǎn)得到，

所以對(duì)任意的，總有，故直線過(guò)定點(diǎn).