Question

（2009•大連二模）選修4-4；坐標系與參數(shù)方程
已知直線l是過點P（-1，2），傾斜角為

2

3

π的直線原方程ρ=2cos(θ+

π

3

)．
（I）求直線l的參數(shù)方程；
（II）設(shè)直線l與圓相交于M、N兩點，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，直線l的參數(shù)方程為 

x=-1+tcos 2 3 π y=2+tsin 2π 3

，化簡可得結(jié)果．
（II）把圓的極坐標方程化為直角坐標方程可得 t²+（3+2

3

）t+6+2

3

=0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得 t₁•t₂=6+2

3

，再由|PM|•|PN|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|求得結(jié)果．

解答：解：（I）直線l過點P（-1，2），且傾斜角為

2π

3

，故直線l的參數(shù)方程為 

x=-1+tcos 2 3 π y=2+tsin 2π 3

，
即 

x=-1- 1 2 t y=2+ 3 t 2

（t為參數(shù)）．
 （II）圓方程 ρ=2cos（θ+

π

3

）=2（

1

2

cosθ-

3

2

sinθ ），
即ρ²=2（

1

2

ρ•cosθ-

3

2

ρ•sinθ）=ρ cosθ-

3

ρsinθ，
化為直角坐標方程為 （x-

1

2

）2+（y-

3

2

）2=1．
把

x=-1- 1 2 t y=2+ 3 t 2

代入  （x-

1

2

）2+（y-

3

2

）2=1．
化簡可得 t²+（3+2

3

）t+6+2

3

=0．
設(shè)此一元二次方程式的兩個根分別為 t₁和 t₂，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得 t₁•t₂=6+2

3

．
由題意可得|PM|•|PN|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|=6+2

3

．

點評：本題主要考查直線的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．