Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+k•2^-x（k∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求k的值；
（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，2]上為減函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的概念，f（x）+f（-x）=0，解答即可；
（2）先討論K的取值范圍，再求取值范圍

解答： 解：（1）f（x）+f（-x）=（k+1）（2^x+2^-x）=0對一切的x∈R成立，
所以k=-1．

（2）若k≤0，則函數(shù)f（x）在（-∞，2]單調(diào)遞增（舍），
當(dāng)k＞0時(shí)，令t=2^x∈（0，4]，
則函數(shù)g(t)=t+

k

t

在（0，4]上單調(diào)遞減，
所以

k

≥4，
即k≥16．

點(diǎn)評：本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，單調(diào)性的定義．