Question

如圖，正四棱錐S-ABCD，底面邊長(zhǎng)與高都是2，K是SC的中點(diǎn)，T是SB的中點(diǎn)．
（1）求證：KT∥平面SAD；
（2）求二面角K-AD-B的大小的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得KT∥BC，BC∥AD，從而KT∥AD，由此能證明KT∥平面SAD．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能求出二面角K-AD-B的余弦值．

解答： （1）證明：∵正四棱錐S-ABCD，底面邊長(zhǎng)與高都是2，K是SC的中點(diǎn)，T是SB的中點(diǎn)，
∴KT∥BC，BC∥AD，
∴KT∥AD，
∵KT?平面SAD，AD?平面SAD，
∴KT∥平面SAD．
（2）解：以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，以O(shè)S為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
A（

2

，0，0），B（0，

2

，0），D（0，-

2

，0），
S（0，0，2），C（-

2

，0，0），K（-

2

2

，0，1），

DA

=(

2

，

2

，0)，

DK

=（-

2

2

，

2

，1），
設(shè)平面DAK的法向量

n

=（x，y，z），

n • DA = 2 x+ 2 y=0 n • DK =- 2 2 x+ 2 y+z=0

，
取x=1，得

n

=（1，-1，

3 2

2

），
又平面ADB的法向量

m

=（0，0，1），
設(shè)二面角K-AD-B的大小的平面角為θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

3 2 2

13 2

|=

3 13

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．