Question

4．關于函數$f（x）=4sin（2x-\frac{π}{3}）（x∈R）$，有以下命題：
（1）$y=f（x+\frac{π}{6}）$是奇函數；
（2）要得到g（x）=4sin2x的圖象，只需將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位；
（3）y=f（x）的圖象關于直線$x=-\frac{π}{12}$對稱；
（4）y=f（x）在$[0，\frac{5π}{12}]$上單調遞增，
其中正確的個數為3．

Answer 1

分析 （1）求出函數$y=f（x+\frac{π}{6}）$的解析式，結合函數奇偶性的定義進行判斷．
（2）根據三角函數的圖象平移關系進行判斷．
（3）根據三角函數的對稱性進行判斷．
（4）根據三角函數的單調性進行判斷．

解答 解：（1）∵$f（x）=4sin（2x-\frac{π}{3}）（x∈R）$，
∴$y=f（x+\frac{π}{6}）$=4sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]=4sin2x為奇函數，則（1）正確；
（2）將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位，得到y(tǒng)=4sin[2（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=4sin（2x-π）=-4sin2x，則無法得到g（x）的圖象，則（2）錯誤；
（3）f（-$\frac{π}{12}$）=4sin[2×（-$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{3}$]=4sin（-$\frac{π}{2}$）=-4為最小值，
∴y=f（x）的圖象關于直線$x=-\frac{π}{12}$對稱，則（3）正確；
（4）當0≤x≤$\frac{5π}{12}$，則0≤2x≤$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，
此時函數f（x）為增函數，則（4）正確；
故正確的個數有3個，
故答案為：3

點評 本題主要考查與三角函數有關的命題的真假判斷，根據三角函數的性質是解決本題的關鍵．