Question

7．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（2+x）=f（x），且在[-3，-2]上是減函數(shù)，若A、B是銳角三角形ABC的兩個內(nèi)角，則下列各式一定成立的是（　�。�

• A． f（sinA）＜f（cosB）
• B． f（sinA）＞f（cosB）
• C． f（sinA）＞f（sinB）
• D． f（cosA）＞f（cosB）

Answer 1

分析 由f（x+2）=f（x）求出函數(shù)f（x）的周期，由周期性和條件可得f（x）在[-1，0]上單調(diào)性，由偶函數(shù)的單調(diào)性得到f（x）在[0，1]上的單調(diào)性，根據(jù)銳角三角形的條件、誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷出sinA和cosB大小，根據(jù)f（x）的單調(diào)性得到答案．

解答 解：由f（x+2）=f（x）得，函數(shù)f（x）的周期為2，
因為f（x）在[-3，-2]上為減函數(shù)，所以f（x）在[-1，0]上為減函數(shù)，
因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．
因為在銳角三角形中，π-A-B＜$\frac{π}{2}$，
所以A+B＞$\frac{π}{2}$，即$\frac{π}{2}$-B＜A，
因為α，β是銳角，所以0＜$\frac{π}{2}$-B＜A＜$\frac{π}{2}$，
所以sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-B）=cosB，
因為f（x）在[0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．
所以f（sinA）＞f（cosB），
故選B．

點評 本題考查偶函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，正弦函數(shù)的單調(diào)性，誘導(dǎo)公式，以及函數(shù)周期性與單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力．